Do đa thức (x - 1)(x - 3) là đa thức bậc hai nên đa thức dư khi chia cho nó sẽ có dạng ax + b

Đặt \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)g\left(x\right)+ax+b\)

Ta có :

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)g\left(x\right)+ax+b=\left(x-1\right)\left(x-3\right)g\left(x\right)+a\left(x-1\right)+\left(a+b\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left[\left(x-3\right)g\left(x\right)+a\right]+\left(a+b\right)\)

Do P(x) chia (x - 1) dư 4 nên a + b = 4​​​

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)g\left(x\right)+ax+b=\left(x-3\right)\left(x-1\right)g\left(x\right)+a\left(x-3\right)+\left(3a+b\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)g\left(x\right)+a\right]+\left(3a+b\right)\)

Do P(x) chia (x - 3) dư 14 nên 3a + b = 14​​​

Vậy nên ta tìm được a = 5, b = -1 hay đa thức dư là 5x - 1.

Gọi thương của phép chia đa thức P(x) cho (x-1 ) và (x-3)  theo thứ thự là A(x) và  B(x) và dư lần lượt là 4 và 14 . 

Ta có :

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right).A\left(x\right)+4\forall x\)      (1)

\(P\left(x\right)=\left(x-3\right).B\left(x\right)+14\forall x\) (2)

Gọi thương của phép chia P(x) cho đa thức bậc hai (x-1)(x-3) là C(x) và dư là   R(x) . Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc 2 nên R(x) có  dạng ax+b . Ta có :

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right).C\left(x\right)+\left(ax+b\right)\forall x\)    (3)

Thay x=1 vào (1) và (3) ta có :

\(\hept{\begin{cases}P\left(1\right)=4\\P\left(1\right)=a+b\end{cases}}\)

Thay x=3  vào (2) và (3) ta có :

\(\hept{\begin{cases}P\left(3\right)=14\\P\left(3\right)=3a+b\end{cases}}\)

Từ \(\hept{\begin{cases}a+b=4\\3a+b=14\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=5\\b=-1\end{cases}}\)

Vậy dư của phép chia P(x) cho (x-1) (x-3)  là 5x-1.

\(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)Q\left(x\right)+ax+b\) (Q(x) là thương, ax + b là số dư)

f (x) chia cho x - 2 dư 3 tức f(2) = 3 \(\Rightarrow2a+b=3\) (1)

f(x) chia x - 3 dư 4 tức f(3) = 4 \(\Rightarrow3a+b=4\) (2)

Từ (1) và (2), ta được \(3a+b-\left(2a+b\right)=4-3=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1\)

Vậy đa thức dư là ax + b = x + 1

cảm ơn bạn nhiều lắm 

Câu 2:

\(P\left(x\right)\) chia \(x-1\) dư 4 \(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-1\right).Q\left(x\right)+4\)

\(\Rightarrow P\left(1\right)=4\)

Tương tự: \(P\left(x\right)=\left(x-3\right).R\left(x\right)+14\Rightarrow P\left(3\right)=14\)

Do \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\) bậc 2 nên số dư tối đa của phép chia là bậc 1

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right).H\left(x\right)+ax+b\)

Thay \(x=1\Rightarrow P\left(1\right)=a+b\Rightarrow a+b=4\)

Thay \(x=3\Rightarrow P\left(3\right)=3a+b\Rightarrow3a+b=14\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\3a+b=14\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Số dư của phép chia là \(5x-1\)

a/ Nếu \(x⋮3\)

\(P\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^5-3x^4+6x^3-3x^2+9x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^5-3x^2\left(x-1\right)^2+9x=6\)

Vế trái chia hết cho 9, vế phải không chia hết cho 9 nên pt vô nghiệm

- Nếu \(x⋮̸3\)

\(P\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^5=3\left(x^4-2x^3+x^2-3x+2\right)\)

Vế trái ko chia hết cho 3, vế phải chia hết cho 3

Vậy pt luôn luôn vô nghiệm

Gọi thương của phép chia P(x) cho (x-1)(x-3) lần lượt là A(x) và B(x) số dư lần lượt là 4 và 14 .

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-1\right).A\left(x\right)+4\forall x\) (1)

\(P\left(x\right)=\left(x-3\right).B\left(x\right)+14\forall x\) (2)

Gọi thương của phép chia P(x) chia cho đa thức bậc 2 (x-1)(x-3) là C(x) và dư là R(x)

=> P(x) có dạng ax +b .

Ta có : \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right).C\left(x\right)+\left(ax+b\right)\)\(\forall x\) (3)

Thay x=1 vào (1) và (3) ta có :

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=4\\P\left(1\right)=a+b\end{matrix}\right.\)

Thay x=3 vào (1) và (3) ta có :

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(3\right)=14\\P\left(3\right)=a+b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\3a+b=14\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy dư của P(x) cho (x-1)(x-3 ) là \(5x-1\).